Cálculo I

Limite

Introdução ao limite

Definição de limite

Definição 1

O número constante denotado por a chama-se o limite da grandeza variável x, se para todo o número arbitrariamente pequeno

\delta >0, se pudermos indicar um valor da variável x tal que todos os valores dessa variável correspondam a desigualdade \begin{equation} |x-a|<\delta \end{equation} Assim, se o número a é o limite da variável x, dizemos que x tende para o limite a e podemos escrever: $$ x\to a$$

Definição Matemática

Limite de uma Função

Seja y=f(x) uma função definida na vizinhça do ponto a ou também em certos pontos desta vizinhança. dizemos que tal função f possui um limite finito L quando x tende para um valor de a, se para cada número positivo \epsilon, por menor que seja, existe em correspondência um número positivo \delta, tal que para |x-a|< \delta, tenhamos |f(x)-L|<\varepsilon, para todo x.

Assim, como você deve ter percebido a letra L aqui representa o limite de uma função f(x) quando x tende para a, e escrevemos:

\displaystyle\lim_{ x \to a} f(x) = L

Depois desses comentários, fica a questão, o que é limite?

podemos escrever então,

\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=L

(lê-se: Quando x tende para a o limite da função tende para o valor real L).

Formalizando essa definição podemos escrever:

\displaystyle\lim_{ x \to a} f(x) = L

Para todo \varepsilon >0 e exista um \delta >0 tal que 0<|x-a|<\delta implique que |f(x)-L|<\varepsilon.

Ou ainda com uma carga de símbolos matemáticos:

\forall \varepsilon \exists \delta > 0 / 0<|x-a|<\delta
\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon

Exemplo 1:

Mostre pela definição de limite que \displaystyle\lim_{x\to 2} 3x+1=7.

Definição de limite

Definição de limite 2

Definição de limite da constante

Videoaula 1: Definição de limite função racional

!!! tip "Definição de limite 7"

Definição de limite 8

Propriedades de limite

Limite função racional 1

Limites indeterminados

Limite Indeterminado

Limite Indeterminado 2

Limite Indeterminado 4

Limite Indeterminado 5

Limites lateriais

Limites laterais

Aula 2: Limites laterais

Exercício: Limites laterais

Exercício: Limites laterais

Limite no Infinito

Limite no infinito

Limite no infinito 4

Limite no infinito 5

Limite Infinito

Limite infinito 1

Limite infinito 2

Continuidade

Limite - continuidade

Limites fundamentais

Limite fundamental trigonométrico

Aula: Limite fundamental trigonométrico - parte 1

Aula: Limite fundamental trigonométrico - parte 2

Limite fundamental trigonométrico

Limite fundamental trigonométrico 2

Limite fundamental trigonométrico 3

Limite fundamental trigonométrico 4

Derivada

Propriedades de derivada

Derivada

Regra do produto

Regra do quociente

Derivada: regra do quociente

Derivada da função raiz

Derivada da função raiz

Regra da cadeia

Aula Derivada:Regra da cadeia

Derivada da função exponencial

Derivada da função exponencial

Derivada da função logarítmica

Derivada logaritmo

Derivada da função composta

Derivada da função composta 2

Derivada da função composta 3

Derivada da função composta 5

Derivada implícita

Derivada da função implícita

Derivada da função implícita 2

Derivação logarítmica

Derivação logarítmica

Derivada da função trigonométrica inversa

Derivada função trigonométrica inversa

Aplicação da derivada

Aplicação da derivada: pontos críticos

Integral

Integral indefinida

Integral indefinida

Integral indefinida polinomial

Integração:Método de substituição

Integração:Método de substituição 2

Integral Indefinida substituição 3

Integral Indefinida substituição 7

Integral Indefinida substituição 6

Integral Indefinida substituição 4

!!! tip "Integral indefinida: mudança de variável"

!!! tip "Integral indefinida: mudança de variável 4"

Integral indefinida: mudança de variável 3

Integral indefinida: mudança de variável 2

Integração por partes

Referências